Question

若對任意x∈R，y∈R有唯一確定的f （x，y）與之對應，則稱f （x，y）為關于x，y的二元函數．
定義：同時滿足下列性質的二元函數f （x，y）為關于實數x，y的廣義“距離”：
（Ⅰ）非負性：f （x，y）≥0；
（Ⅱ）對稱性：f （x，y）=f （y，x）；
（Ⅲ）三角形不等式：f （x，y）≤f （x，z）+f （z，y）對任意的實數z均成立．
給出下列二元函數：
①f （x，y）=（x-y）²；
②f （x，y）=|x-y|；
③f （x，y）=

x-y

；
④f （x，y）=|sin（x-y）|．
則其中能夠成為關于x，y的廣義“距離”的函數編號是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：③中的函數不滿足（Ⅱ）對稱性，①中的函數不滿足（Ⅲ），故①③不能夠成為關于x，y的廣義“距離”的函數．
而②④中的函數都能同時滿足（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ），故能夠成為關于x，y的廣義“距離”的函數．

解答：解：對于②④中的函數，滿足（Ⅰ）和（Ⅱ）和（Ⅲ），能夠成為關于x，y的廣義“距離”的函數．
對于①中的函數，由于不滿足（Ⅲ），不能夠成為關于x，y的廣義“距離”的函數．
對于③中的函數，因為不滿足（Ⅱ）對稱性，不能夠成為關于x，y的廣義“距離”的函數．
故答案為：②④．

點評：本題考查新定義關于x，y的廣義“距離”的函數，關鍵是檢驗（Ⅲ）三角形不等式：f （x，y）≤f （x，z）+f （z，y）對任意的實數z均成立．