Question

已知△ABC的面積為3，且滿足0≤

AB

•

AC

≤6，設

AB

和

AC

的夾角為θ．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數f（θ）=2sin²(

π

4

+θ)-

3

cos2θ的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據三角形的面積，數量積的范圍，推出關系式，然后求出θ的取值范圍；
（Ⅱ）利用二倍角公式、兩角差的正弦函數，化簡函數f（θ）=2sin²(

π

4

+θ)-

3

cos2θ為一個角的一個三角函數的形式，根據（Ⅰ）的范圍，求出函數的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）設△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
則由

1

2

bcsinθ=3，0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，∴θ∈[

π

4

，

π

2

]．

（Ⅱ）f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ
=[1-cos(

π

2

+2θ)]-

3

cos2θ
=(1+sin2θ)-

3

cos2θ
=sin2θ-

3

cos2θ+1
=2sin(2θ-

π

3

)+1．
∵θ∈[

π

4

，

π

2

]，2θ-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴2≤2sin(2θ-

π

3

)+1≤3．
即當θ=

5π

12

時，f（θ）_max=3；當θ=

π

4

時，f（θ）_min=2．

點評：本小題主要考查平面向量數量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數的性質等基本知識，考查推理和運算能力．