Question

如圖，在△ABC中，B=

π

4

，角A的平分線AD交BC于點D，設(shè)∠BAD=α，sinα=

5

5

．
（Ⅰ）求sinC；   
（Ⅱ）若

BA

•

BC

=28，求AC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由α為三角形BAD中的角，根據(jù)sinα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，進而利用二倍角的正弦函數(shù)公式求出sin∠BAC與cos∠BAC的值，即為sin2α與cos2α的值，sinC變形為sin[π-（

π

4

+2α）]，利用誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出sinC的值；
（Ⅱ）利用正弦定理列出關(guān)系式，將sinC與sin∠BAC的值代入得出AB=

7 2

8

BC，利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡已知等式左邊，將表示出的AB代入求出BC的長，再利用正弦定理即可求出AC的長．

解答：解：（Ⅰ）∵α∈（0，

π

2

），sinα

5

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，
∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×

5

5

×

2 5

5

=

4

5

，
cos∠BAC=cos2α=2cos²α-1=2×

4

5

-1=

3

5

，
∴sinC=sin[π-（

π

4

+2α）]=sin（

π

4

+2α）=

2

2

（cos2α+sin2α）=

2

2

×（

3

5

+

4

5

）=

7 2

10

；
（Ⅱ）由正弦定理，得

AB

sinC

=

BC

sin∠BAC

，
即

AB

7 2 10

=

BC

4 5

，
∴AB=

7 2

8

BC，
又

BA

•

BC

=28，
∴AB×BC×

2

2

=28，
由上兩式解得：BC=4

2

，
由

AC

sinB

=

BC

sin∠BAC

，
得：

AC

2 2

=

BC

4 5

，
∴AC=5．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．