Question

給出下列命題：
（1）設

a

、

b

都是非零向量，則“

a

•

b

=±|

a

|•|

b

|”是“

a

、

b

共線”的充要條件
（2）將函數y=sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin2x的圖象；
（3）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=

π

3

，則△ABC必為銳角三角形；
（4）在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點；
其中正確命題的序號是

（1）（3）

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：（1）若非零向量

a

、

b

共線，則夾角θ=0或θ=π，代入向量的數量積的定義可得；反之，若

a

•

b

=±|

a

|•|

b

|，由向量的數量積的定義可知，夾角θ=0或θ=π，即

a

、

b

共線（2）將函數y=sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin2[（x-

π

3

）+

π

3

]=sin（2x-

π

3

）的圖象；（3）在△ABC中，由AB=2＜AC=3，∠ABC=

π

3

，可知C為銳角，由正弦定理可得

AB

sinC

=

AC

sinB

可求cosC=

6

3

可知C為銳角，再由cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC＞0可得A為銳角，（4）在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有1個公共點

解答：解：（1）若非零向量

a

、

b

共線，則夾角θ=0或θ=π，從而

a

•

b

=±|

a

|•|

b

|；反之，若

a

•

b

=±|

a

|•|

b

|，由向量的數量積的定義可知，cosθ=±1，即θ=0或θ=π，即

a

、

b

共線；故（1）正確
（2）將函數y=sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin2[（x-

π

3

）+

π

3

]=sin（2x-

π

3

）的圖象；故（2）錯誤
（3）在△ABC中，由AB=2＜AC=3，∠ABC=

π

3

，可知C為銳角，由正弦定理可得

AB

sinC

=

AC

sinB

⇒sinC=

2× 3 2

3

=

3

3

，cosC=

6

3

，再由cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC＞0可得A為銳角，故（3）正確
（4）在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有1個公共點；故（4）錯誤
故答案為（1）（3）

點評：本題綜合考查了向量的數量積的定義的應用，向量的共線的判斷，三角函數的圖象的平移，正弦定理、兩角和與差的三角公式在三角形的形狀的判斷中的應用，解答本題的關鍵是熟練掌握相關的性質及結論并能靈活應用．