Question

如圖,過點P(2,1)作直線l,與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點.求:

(1)△AOB面積的最小值及此時直線l的方程；

(2)求直線l在兩坐標軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程；

(3)求|PA|·|PB|的最小值及此時直線l的方程.

Answer 1

思路解析：本題的關鍵是何時取得最值.可以先設出斜率,分別求出|OA|,|OB|,然后再由不等式、判別式或三角變換等有關方法來求.

(1)解法一:設直線l的方程為y-1=k(x-2).

令y=0,得x=;令x=0,得y=1-2k.

∴A、B兩點坐標分別為A(,0),B(0,1-2k).

∵A、B是l與x軸、y軸正半軸的交點,

∴

S_△ABC=·|OA|·OB|=··(1-2k)=(4--4k).

由-＞0,-4k＞0,有--4k≥2=4.

當且僅當-=-4k,即k=-時,--4k取最小值4.

∴S_△AOB的最小值為×(4+4)=4.

此時l的方程是y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.

解法二:設l的方程為+=1(a＞0,b＞0).

∵點P(2,1)在l上,∴+=1.

又∵+≥2,∴2≤1.

∴ab≥4.

當且僅當==,即a=4,b=2時,△AOB面積S=ab有最小值4.

此時直線l的方程為+=1.

解法三:由解法一知S=··(1-2k),

整理得4k²+2(S-2)k+1=0.

∵k∈R,∴Δ=4(S-2)²-4×4×1≥0.解得S≥4.

當且僅當S=4時,k=-.

∴△AOB面積的最小值為4.

當△AOB面積最小時,l的方程為y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.

解法四:由解法二可知+=1,∴b=.                                ①

△AOB的面積S=·a·b=·a·=,                ②

整理得a²-2aS+4S=0.

∵a∈R,∴Δ=4S²-4×4S≥0,(S＞0).∴S≥4.

將S=4代入②,得a=4;將a=4代入①,得b=2.

∴△AOB面積的最小值為4.

此時直線l的方程為+=1,即x+2y-4=0.

(2)解法一:∵A(,0),B(0,1-2k)(k＜0＝,

∴截距之和為+1-2k=3-2k-=3+(-2k)+(-)≥3+2=3+2.

此時-2k=-,即k=-.故截距之和的最小值為3+2.

此時l的方程為y-1=-(x-2).

解法二:∵+=1(a＞0,b＞0),

∴a+b=(a+b)(+)=2+1++=3++≥3+2=3+2.

此時=,即2b²=a².求得b=+1,a=2+.

故截距之和的最小值為3+2.

∴此時直線l的方程為+=1,即y-1=-(x-2).

輕輕告訴你  行不義的人比遭受這個不義行為的人更不幸。——德謨克利特

(3)解法一:∵A(2-,0),B(0,1-2k)(k＜0),

∴|PA|·|PB|=·=2［+(-k)］≥4.

當且僅當-k=-,即k=-1時上式等號成立.

故|PA|·|PB|的最小值為4.此時直線l的方程為x+y-3=0.

解法二:∵|PA|=,|PB|=,

∴|PA|·|PB|==.

當θ=45°時,直線l的斜率為-1,此時|PA|·|PB|有最小值4,直線l的方程為x+y-3=0.

深化升華

    以上三個小題的各種方法概括起來就是利用直線的斜率、截距及角θ作為參變量,利用均值不等式或判別式法求最值.一般來說,總是把所求的問題,如面積、截距之和、距離之積歸結為關于斜率k、角θ或截距的表達式,再去解決問題.這也是解析幾何中常用的代數手段.尤其是利用不等式求最值,今后會常遇到.