Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+a+1，函數(shù)g(x)=

11

8

x-

a2

4

-

3

2

，稱方程f（x）=x的根為函數(shù)f（x）的不動點，
（1）若f（x）在區(qū)間[0，3]上有兩個不動點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）記區(qū)間D=[1，a]（a＞1），函數(shù)f（x）在D上的值域為集合A，函數(shù)g（x）在D上的值域為集合B，已知A⊆B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，有x²-（a+2）x+a+1=x在[0，3]上有2個不同根．移項得x²-（a+3）x+a+1=0，利用二次方程根的分布即可求得實數(shù)a的取值范圍．
（2）根據(jù)條件可得B=[-

1

8

-

a2

4

，

11

8

a-

1

4

a2-

3

2

]，下面對字母a進行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出集合A，再利用兩個集合的關(guān)系建立關(guān)于a的不等式，即可得出a 的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，有x²-（a+2）x+a+1=x在[0，3]上有2個不同根．
移項得x²-（a+3）x+a+1=0
∴

△=(a+3)2-4(a+1)=a2+2a+5＞0 0＜ a+3 2 ＜3 a+1≥0 9-3(a+3)+a+1=-2a+1≥0

解得：-1≤a≤

1

2

（2）易知B=[-

1

8

-

a2

4

，

11

8

a-

1

4

a2-

3

2

]
①當(dāng)

a+2

2

≥a，即1＜a≤2時，f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減 A=[f（a），f（1）]=[-a+1，0]⊆B
∴

- 1 8 - a2 4 ≤-a+1 11 8 a- a2 4 - 3 2 ≥0

解得：

3

2

≤a≤2．

②當(dāng)a＞2時，f（x）在[1，

a+2

2

]上遞減，在[

a+2

2

，a]上遞增．f（a）=-a+1＜0=f（1）．
∴A=[f(

a+2

2

)，f(1)]=[-

a2

4

，0]⊆B
∴

- 1 8 - a2 4 ≤- a2 4 11 8 a- a2 4 - 3 2 ≥0

解得2＜a≤4
綜上，a 的取值范圍為[

3

2

，4]

點評：本題主要考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的解法，方程根的情況以及函數(shù)恒成立問題．其中根據(jù)已知中的新定義，構(gòu)造滿足條件的方程是解答本題的關(guān)鍵．