Question

如圖，某小區準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=20米，∠ABC=θ，設△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值稱為“規劃合理度”．
（1）試用θ表示S₁和S₂．
（2）當θ變化時，求“規劃合理度”取得最小值時的角θ的大小．

Answer 1

解：（1）如圖，在Rt△ABC中，AC=20sinθ，AB=20cosθ，
=100sin2θ，
設正方形的邊長為x則，
∴，
∴=，；
（2）t=sin2θ而S₂=∴，
∵0＜θ＜，又0＜2θ＜π，∴0＜t≤1∴為減函數
當t=1時取得最小值為此時．
分析：（1）據題知三角形ABC為直角三角形，根據三角函數分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=20列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值稱為“規劃合理度”，可設t=sin2θ來化簡求出S₁與S₂的比值，利用三角函數的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ．
點評：考查學生會根據實際問題選擇合適的函數關系的能力，以及在實際問題中建立三角函數模型的能力．