Question

（2012•徐匯區一模）由9個正數組成的矩陣

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

中，每行中的三個數成等差數列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，給出下列判斷：①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比數列；②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比數列；③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；④若9個數之和等于9，則a₂₂≥1．其中正確的個數有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：先由題意設列出由9個正數組成的矩陣是：

a a+d   a+2d b b+m  b+2m c c+n   c+2n

由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正確；再由（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），得到③正確；
再題意設列舉出由9個正數組成的特殊矩陣判斷②④錯即可．

解答：解：由題意設由9個正數組成的矩陣是：

a a+d   a+2d b b+m  b+2m c c+n   c+2n

由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列
則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正確；
（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），故③正確；
再題意設由9個正數組成的矩陣是：

1 2 1    3 2 1 1      1 1 2 1      3 2

，故②錯；
再題意設由若9個數之和等于9組成的矩陣是：

1 4 1 2    3 4 1 4 1 2    3 4 1 3 5 3     3

，故④錯；
其中正確的序號有①③．
故選B．

點評：本題以三階矩陣為載體，主要考查等比數列的性質、等差數列的性質、三階矩陣等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．