Question

無窮等差數列{a_n}的各項均為整數，首項為a₁、公差為d，S_n是其前n項和，3、21、15是其中的三項，給出下列命題；
①對任意滿足條件的d，存在a₁，使得99一定是數列{a_n}中的一項；
②對任意滿足條件的d，存在a₁，使得30一定是數列{a_n}中的一項；
③存在滿足條件的數列{a_n}，使得對任意的n∈N^*，S_2a=4S_n成立．
其中正確命題為

①③

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：利用等差數列的公式，分別討論前n項和3、21、15的具體項數，然后進行推理即可．首先根據條件得出d≤6；①99-21=78能被6整除，且=13，假設15和21之間有n項，那么99和21之間有13n項，得出結論；②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數列{a_n}中的一項，得出結論．③利用等差數列的前n項和公式化簡S_2n=4S_n，得出結論

解答：解：要使等差數列的公差最大，則3，15，21因為相鄰的前n項和，此時對應 兩項為15-3=12，21-15=6，所以d≤6．
①99-21=78能被6整除，且

78

6

=13，假設15和21之間有n項，那么99和21之間有13n項，所以99一定是數列{a_n}中的一項，所以①正確．
②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數列{a_n}中的一項，所以②錯誤．
③如果有S_2n=4S_n，那么由等差數列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+

n(n-1)d

2

]，化簡得到，d=2a₁，所以只要滿足條件d=2a₁的數列{a_n}，就能使得對任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，所以③正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查等差數列的通項公式及前n項和公式的應用，解題的關鍵是根據條件得出公差．考查學生分析問題，解決問題的能力，綜合性較強，難度較大．