Question

已知圓C同時滿足下列三個條件：①與y軸相切；②在直線y=x上截得弦長為2

7

；③圓心在直線x-3y=0上．求圓C的方程．

Answer 1

分析：設所求的圓C與y軸相切，又與直線交于AB，由題設知圓心C（3a，a），R=3|a|，再由點到直線的距離公式和色股定理能夠求出a的值，從而得到圓C的方程．

解答：解設所求的圓C與y軸相切，又與直線交于AB，
∵圓心C在直線x-3y=0上，∴圓心C（3a，a），又圓
與y軸相切，∴R=3|a|．又圓心C到直線y-x=0的距離|CD|=

|3a-a|

2

=

2

|a|．
∵
在Rt△CBD中，R2-|CD|2=(

7

)2，
∴9a²-2a²=7．a²=1，a=±1，3a=±3．
∴圓心的坐標C分別為（3，1）和（-3，-1），
故所求圓的方程為（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．

點評：本題考查圓的方程，解題時要濟噗到直線的距離公式和勾股定理的合理運用．結合圖形進行求解會收到良好的效果．