Question

已知命題p：?x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命題q：?x∈R，ax²-2x+a＜0，命題p∨q為真，命題p∧q為假．求實數a的取值范圍．

Answer 1

由命題p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2(sinx-

1

4

)2-

9

8

，
因為sinx∈[-1，1]，
所以當sinx=-1時，（2sin²x-sinx-1）_max=2，
所以命題p：a≥2
由命題q得：當a≤0時顯然成立；
當a＞0時，需滿足△=4-4a²＞0，解得0＜a＜1
所以命題q：a＜1
因為命題p∨q為真，命題p∧q為假，所以命題p和q一真一假
若命題p真q假，則a≥2；若命題p假q真，則a＜1
綜上，實數a的取值范圍是（-∞，1）∪[2，+∞）