Question

已知O、A、B、C是不共線的四點，若存在一組正實數λ₁﹑λ₂﹑λ₃，使λ₁

OA

+λ₂

OB

+λ₃

OC

=

0

，則三個角∠AOB、∠BOC、∠COA（　　）

• A、都是銳角
• B、至多有兩個鈍角
• C、恰有兩個鈍角
• D、至少有兩個鈍角

Answer 1

分析：根據λ₁

OA

+λ₂

OB

+λ₃

OC

=

0

，移向得λ₁

OA

+λ₂

OB

=-λ₃

OC

，兩邊同時點乘

OC

，得λ₁

OA

•

OC

+λ₂

OB

•

OC

=-λ₃

OC

•

OC

＜0，在根據正實數λ₁﹑λ₂﹑λ₃，和向量數量積的定義即可確定∠BOC、∠COA至少有一個為鈍角，同理可證明∠AOB、∠BOC至少有一個為鈍角，∠AOB、∠COA至少有一個為鈍角，從而得到結論．

解答：解：∵λ₁

OA

+λ₂

OB

+λ₃

OC

=

0

，
∴λ₁

OA

+λ₂

OB

=-λ₃

OC

，兩邊同時點乘

OC

，得
λ₁

OA

•

OC

+λ₂

OB

•

OC

=-λ₃

OC

•

OC

，
即λ₁|

OA

|•|

OC

|cos∠COA+λ₂

|OB|

•

|OC

|cos∠BOC=-λ₃

OC

•

OC

＜0，，
∴∠BOC、∠COA至少有一個為鈍角，
同理∠AOB、∠BOC至少有一個為鈍角，∠AOB、∠COA至少有一個為鈍角，
因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有兩個鈍角．
故選D．

點評：此題是個中檔題．考查數量積表示兩個向量的夾角，以及數量積的定義式，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．