Question

有一個項數為10的實數等比數列{a_n}，S_n（n≤0）表示該數列的前n項和．
（1）當2＜k≤10時，若S_k，S₁₀，S₇成等差數列，求證a_k-1，a₉，a₆也成等差數列；
（2）研究當k∈{3，4}時，S_k，s₁₀，S₇能否成等差數列，如果能，請求出公比；如果不能，并請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接由S_k，S₁₀，S₇成等差數列，分q=1和q≠1兩種情況分別求出其對應結論，整理即可證a_k-1，a₉，a₆也成等差數列；
（2）先把k=3代入S_k，s₁₀，S₇成等差數列，求出關于q的方程，看能否求出方程的根即可；同理k=4的求解過程一樣．

解答：解：（1）當q=1時，由2s₁₀=s_k+s₇?20a₁=ka₁+7a₁?k=13（舍）．所以S_k，S₁₀，S₇不成等差數列．
當q≠1時，sk=

a1(1-qk)

1-q

，s10=

a1(1-q10)

1-q

，s7=

a1(1-q7)

1-q

，由2s₁₀=s_k+s₇得
2q¹⁰=q^k+q⁷?2q⁸=q^k-2+q⁵?2a₁q⁸=a₁q^k-2+a₁q⁵?2a₉=a_k-1+a₆，
即a_k-1，a₉，a₆也成等差數列
（2）當k=3時，如果S_k，s₁₀，S₇成等差數列，則由2s₁₀=s₃+s₇得，
當q=1時，2s₁₀=s₃+s₇顯然不成立．
當q≠1時，2s₁₀=s₃+s₇?2q¹⁰=q³+q⁷，得到關于q的方程：2q⁷=1+q⁴
下面證明上述方程無解：①當q＞1時，2q⁷=q⁷+q⁷＞1+q⁷＞1+q⁴，方程：2q⁷=1+q⁴無解；
②當0＜q＜1時，1+q⁴＞2q²＞2q⁷，方程：2q⁷=1+q⁴無解；
③當q＜0時，1+q⁴＞0＞2q⁷，方程：2q⁷=1+q⁴無解；
綜上所述：方程：2q⁷=1+q⁴無解．
即k=3，假設S_k，s₁₀，S₇成等差數列是錯誤的，S_k，s₁₀，S₇不成等差數列．
當k=4時，如果s₄，s₁₀，，s₇成等差數列，則由2s₁₀=s₄+s₇得，
當q=1時，2s₁₀=s₄+s₇顯然不成立；
當q≠1時，由2s₁₀=s₄+s₇?2q¹⁰=q⁴+q⁷，得到關于q的方程2q⁶=1+q³，
分解因式得：（2q³+1）（q³-1）=0?q=-

3	1 2

或q=1（舍）．
綜上所述：當k=4時，當q=1，s₄，s₁₀，，s₇不成等差數列；
當q=-

3	1 2

時，s₄，s₁₀，s₇成等差數列．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的綜合問題以及分類討論思想的應用．在解題過程中，分類討論思想，數形結合思想，轉化思想等都是比較常用的．