Question

已知向量

m

=(2cos

x

2

，1)，

n

=(sin

x

2

，1)（x∈R），設函數f(x)=

m

•

n

-1．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）已知銳角△ABC的三個內角分別為A，B，C，若f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，求f（C）的值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的兩個向量的坐標，寫出函數f（x）的解析式，逆用正弦的二倍角公式，把函數變形為y=sinx的形式，根據所給的變量的取值范圍，寫出函數的值域．
（2）根據f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，寫出三角形的兩個內角的三角函數值，根據三角形是銳角三角形和同角的三角函數關系，根據兩角和的正弦公式，得到結果．

解答：解：（1）∵向量

m

=(2cos

x

2

，1)，

n

=(sin

x

2

，1)（x∈R），
∴f(x)=

m

•

n

-1=(2cos

x

2

，1)•(sin

x

2

，1)-1
=2cos

x

2

sin

x

2

+1-1=sinx．
∵x∈R，
∴函數f（x）的值域為[-1，1]．
（2）∵f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，∴sinA=

5

13

，sinB=

3

5

．
∵A，B都是銳角，
∴cosA=

1-sin2A

=

12

13

，cosB=

1-sin2B

=

4

5

．
∴f（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

5

13

×

4

5

+

12

13

×

3

5

=

56

65

.
∴f（A+B）的值為

56

65

．

點評：本題表面上是對向量數量積的考查，根據兩個向量的坐標，用數量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉移到角的變換問題．注意解題過程中角的范圍．