Question

【題目】已知函數,其中a,．

(1)當,時,求函數的零點;

(2)當時,解關于x的不等式;

(3)如果函數的圖象恒在直線的上方,證明:．

Answer 1

【答案】(1) 或;(2)當時,解集為,當時解集為,當時,解集為;(3)證明見解析.

【解析】

(1)將,代入函數得 ,,令,解方程即可求得函數的零點;

(2)將代入函數得 ,令解得或,分、、三種情況討論的解集即可.

(3)根據函數的圖象恒在直線的上方,得對任意的恒成立,即對任意的恒成立, 則函數圖象與軸無交點,,即,又因為,所以,.

解: (1)因為函數,

當,時,

,則,解得或.

所以函數的零點為或;

(2)當時, ,

令解得或,

①當時, 的解集為

②當時, 的解集為,

③當時, 的解集為.

(3)如果函數的圖象恒在直線的上方,

則對任意的恒成立,

即對任意的恒成立

,即

又因為,所以,.

所以函數的圖象恒在直線的上方, 成立.