Question

（2013•四川）已知函數f(x)=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

，其中a是實數，設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的點，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值；
（Ⅲ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用二次函數的單調性和對數函數的單調性即可得出；
（II）利用導數的幾何意義即可得到切線的斜率，因為切線互相垂直，可得f′(x1)•f′(x2)=-1，即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．可得x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)]，再利用基本不等式的性質即可得出；
（III）當x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．分別寫出切線的方程，根據兩條直線重合的充要條件即可得出，再利用導數即可得出．．

解答：解：（I）當x＜0時，f（x）=（x+1）²+a，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，在（-1，0）上單調遞增；
當x＞0時，f（x）=lnx，在（0，+∞）單調遞增．
（II）∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+a，∴f′（x）=2x+2，
∴函數f（x）在點A，B處的切線的斜率分別為f′（x₁），f′（x₂），
∵函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，
∴f′(x1)•f′(x2)=-1，
∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，當且僅當-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即x1=-

3

2

，x2=-

1

2

時等號成立．
∴函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值為1．
（III）當x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．
當x₁＜0時，函數f（x）在點A（x₁，f（x₁）），處的切線方程為
y-(

x

2 1

+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-

x

2 1

+a．
當x₂＞0時，函數f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y-lnx2=

1

x2

(x-x2)，即y=

1

x2

x+lnx2-1．
函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合的充要條件是

1 x2 =2x1+2  ① lnx2-1=- x 2 1 +a  ②

，
由①及x₁＜0＜x₂可得-1＜x₁＜0，
由①②得a=

x

2 1

+ln

1

2x1+2

-1=

x

2 1

-ln(2x1+2)-1．
∵函數y=

x

2 1

-1，y=-ln（2x₁+2）在區間（-1，0）上單調遞減，
∴a（x₁）=

x

2 1

-ln(2x1+2)-1在（-1，0）上單調遞減，且x₁→-1時，ln（2x₁+2）→-∞，即-ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．
x₁→0，a（x₁）→-1-ln2．
∴a的取值范圍是（-1-ln2，+∞）．

點評：本題主要考查了基本函數的性質、利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義、基本不等式的性質、直線的位置關系等基礎知識，考查了推理論證能力、運算能力、創新意識，考查了函數與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法．