Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點M，N分別是AB，BC的中點，點P是△ABC（包括邊界）內任一點．則

AN

•

MP

的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：選擇合適的原點建立坐標系，分別給出動點（含參數）和定點的坐標，結合向量內積計算公式進行求解．

解答：解：以C為坐標原點，CA邊所在直線為x軸，建立直角坐標系，
則A（1，0），B（0，1），
設P（x，y），
則

x≥0 y≥0 x+y-1≤0

且

AN

=（-1，

1

2

），

MP

=（x-

1

2

，y-

1

2

）

AN

•

MP

=-x+

1

2

y+

1

4

，
令t=-x+

1

2

y+

1

4

，結合線性規劃知識，
則y=2x+2t-

1

2

當直線t=-x+

1

2

y+

1

4

經過點A（1，0）時，

AN

•

MP

有最小值，
將（1，0）代入得t=-

3

4

，
當直線t=-x+

1

2

y+

1

4

經過點B時，

AN

•

MP

有最大值，
將（0，1）代入得t=

3

4

，
故答案為[-

3

4

，

3

4

]．

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算及線性規劃，處理的關鍵是建立恰當的坐標系，求出各點、向量的坐標，利用平面向量的數量積公式，將其轉化為線性規劃問題，再利用“角點法”解決問題．