Question

正數數列{a_n}的前n項和為S_n，且存在正數t，使得對于任意的正整數n，都有

tSn

=

t+an

2

成立．若

lim

n→+∞

Sn

an

＜t，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先求出數列的首項，然后利用遞推關系求出a_n與S_n，代入

lim

n→+∞

Sn

an

，從而得到

t

2t

＜t，解之即可求出所求．

解答：解：

a1+t

2

=

tS1

a₁²+2ta₁+t²=4ta₁
∴a₁=t
∵

tSn

=

t+an

2

∴a_n²+2ta_n+t²=4tS_n
則a_n-1²+2ta_n-1+t²=4tS_n-1
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2t）=0
∴a_n=（2n-1）t
∴S_n=n²t即

Sn

=n

t

lim

n→+∞

Sn

an

=

lim

n→∞

n t

(2n-1)t

=

t

2t

＜t
∴t3＞

1

4

即t∈(

3	1 4

，+∞)
故答案為：(

3	1 4

，+∞)

點評：本題主要考查了數列求通項和求和，同時考查了數列的極限，是一道綜合題，屬于難題．