Question

【題目】已知為正整數，數列滿足， ，設數列滿足

（1）求證：數列為等比數列；

（2）若數列是等差數列，求實數的值；

（3）若數列是等差數列，前項和為，對任意的，均存在，使得成立，求滿足條件的所有整數的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：

（1）由，可得，兩邊開方得，于是證得數列為等比數列．（2）由（1）可得，故，從而可得數列的通項公式，根據等差數列可得，由此求得或，然后分別驗證可得符合條件．（3）由題意可得有成立，即對任意的，均存在成立，且為正整數，然后將分為奇數和偶數兩種情況討論，最后可得時符合題意．

試題解析：

(1)證明：∵，

∴，

又，

∴，

數列是首項為，公比為2的等比數列．

(2)解:由(1)得，

∴，

∴

數列是等差數列，

∴，

，

解得或．

當時，，是關于n的一次函數，因此數列是等差數列；

當時，，由于，不是常數，因此數列不是等差數列．

綜上可得．

(3)解:由(2)得，

對任意的，均存在，使得成立，

即有，

化簡得，

當時，，對任意的，符合題意；

當時，若，則 不符合題意.對任意的，也不符合題意.

綜上可得，當，對任意的，均存在，使得成立.