Question

【題目】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求C；
（2）若c= ，△ABC的面積為 ，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知等式利用正弦定理化簡得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，

∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC

∴cosC= ，

又0＜C＜π，

∴C= ；

（2）解：由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab ，

∴（a+b）2﹣3ab=7，

∵S= absinC= ab= ，

∴ab=6，

∴（a+b）2﹣18=7，

∴a+b=5，

∴△ABC的周長為5+ ．

【解析】（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數；（2）利用余弦定理列出關系式，利用三角形面積公式列出關系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周長．