Question

已知函數f（x）=a^x的圖象過點（1，

1

2

），且點（n-1，

an

n2

）（n∈N^*）在函數f（x）=a^x的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n+1-

1

2

a_n，若數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜5．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=a^x的圖象過點（1，

1

2

），知a=

1

2

，f（x）=（

1

2

）^x．由點（n-1，

an

n2

）（n∈N^*）在函數f（x）=a^x的圖象上，能求出a_n．
（2）由a_n=n2•(

1

2

)n-1，b_n=a_n+1-

1

2

a_n，知b_n=（2n+1）•（

1

2

）ⁿ，從而得到S_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，由此利用錯位相減法能夠證明S_n＜5．

解答：（本題12分）
解：（1）∵函數f（x）=a^x的圖象過點（1，

1

2

），
∴a=

1

2

，f（x）=（

1

2

）^x．
又點（n-1，

an

n2

）（n∈N^*）在函數f（x）=a^x的圖象上，
從而（

1

2

）^n-1=

an

n2

，
即a_n=n2•(

1

2

)n-1．（4分）
（2）證明：由a_n=n2•(

1

2

)n-1，b_n=a_n+1-

1

2

a_n，得b_n=（2n+1）•（

1

2

）ⁿ，（6分）
S_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，
則

1

2

S_n=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
兩式相減得：

1

2

S_n=

3

2

+2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n+1

2n+1

，（7分）
∴

1

2

sn=

3

2

+2

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

，（8分）
∴S_n=5-

2n+5

2n

，（10分）
∵

2n+5

2n

＞0，∴S_n＜5．（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減法的合理運用．