Question

8、對于定義在R上的函數f（x），有下述命題：
①若f（x）是奇函數，則f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱
②若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則f（x）為偶函數
③若對x∈R，有f（x-1）=-f（x），則f（x）的周期為2
④函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中正確命題的個數是（　　）

A、1

B、2

C、3

D、4

Answer 1

分析：根據f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個單位可知①②的真假，根據對x∈R，有f（x-1）=-f（x），則f（x-2）=-f（x-1）=f（x）可知函數的周期從而確定③的真假，根據y=f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個單位，y=f（1-x）的圖象是由f（x）的圖象關于y軸對稱后向右平移一個單位，可知④的真假．

解答：解：∵f（x）是奇函數∴f（x）的圖象關于原點對稱，
而f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個單位，
故f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱，故①正確；
若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，而f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個單位，
則f（x）的圖象關于y軸對稱，∴f（x）為偶函數故②正確；
若對x∈R，有f（x-1）=-f（x），則f（x-2）=-f（x-1）=f（x）∴f（1）是周期函數，且周期為2，故③正確；
y=f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個單位，y=f（1-x）的圖象是由f（x）的圖象關于y軸對稱后向右平移一個單位
∴函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱．故④正確；
故選D

點評：本題主要考查了抽象函數的奇偶性、單調性以及圖象的對稱性和平移變換等有關知識，是一道綜合題，需要對各性質都要清楚才能做出，屬于中檔題．