Question

如圖，正三棱錐的三條側棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過的平面與側棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．
（1）求證：⊥面；
（2）求二面角的大小．

Answer 1

（1）同解析（2）二面角為。

（1）證明：依題設，是的中位線，所以∥，
則∥平面，所以∥。
又是的中點，所以⊥，
則⊥。              
因為⊥，⊥，
所以⊥面，則⊥，
因此⊥面。

（2）作⊥于，連。
因為⊥平面，
根據三垂線定理知，⊥，              
就是二面角的平面角。       
作⊥于，則∥，則是的中點，則。
設，由得，，解得，
在中，，則，。
所以，故二面角為。
解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則
  
所以
所以        
所以平面           
由∥得∥，故：平面 

(2)由已知設
則
由與共線得:存在有得

同理: 

設是平面的一個法向量,
則令得

又是平面的一個法量
              
所以二面角的大小為