Question

已知橢圓C短軸的一個端點為（0，1），離心率為

2 2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線y=x+m交橢圓C于A、B兩點，若|AB|=

6 3

5

，求m．

Answer 1

分析：（1）由題意可設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于橢圓C短軸的一個端點為（0，1），離心率為

2 2

3

．可得

b=1 c a = 2 2 3 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯立

y=x+m x2 9 +y2=1

，消去y得到關于x的一元二次方程，得到根與系數的關系，再利用弦長公式即可得出．

解答：解：（1）由題意可設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵橢圓C短軸的一個端點為（0，1），離心率為

2 2

3

．
∴

b=1 c a = 2 2 3 a2=b2+c2

，解得a²=9，b=1，c²=8．
∴橢圓C的標準方程為

x2

9

+y²=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y=x+m x2 9 +y2=1

，
得10x²+18mx+9m²-9=0，
∴x₁+x₂=-

9

5

m，x₁x₂=

9m2-9

10

，
∴|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

81m2 25 -4× 9m2-9 10

=

6 3

5

．
解得m=2．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、弦長公式，屬于中檔題．