Question

已知函數f（x）=ax²-2x+lnx
（Ⅰ）若f（x）無極值點，但其導函數f′（x）有零點，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于-

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先，x＞0f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

利用f′（x）有零點而f（x）無極值點，表明該零點左右f′（x）同號，故△=0．由此可得a=

1

2

即可；
（Ⅱ）先由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，解得：0＜a＜

1

2

，再設2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，利用導數研究函數f（x）的極值點，從而得出證明．

解答：解 （Ⅰ）首先，x＞0f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

f′（x）有零點而f（x）無極值點，表明該零點左右f′（x）同號，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=

1

2

（Ⅱ）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：0＜a＜

1

2

設2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，
因為在區間（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，
而在區間（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的極小值點．
因f（x）在區間（x₁，x₂）上f（x）是減函數，如能證明f(

x1+x2

2

)＜-

3

2

，則更有f(x2)＜-

3

2

由韋達定理，

x1+x2

2

=

1

2a

，f(

1

2a

)=a(

1

2a

)2-2(

1

2a

)+ln

1

2a

=ln

1

2a

-

3

2

•

1

2a

令

1

2a

=t，其中設g(t)=lnt-

3

2

t+

3

2

，
利用導數容易證明g（t）當t＞1時單調遞減，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt-

3

2

t+

3

2

＜0，
因此f（

1

2a

）＜-

3

2

，
從而有f（x）的極小值f（x₂）＜-

3

2

．

點評：解決本題時要注意題目中所應用的函數的思想，要使的函數無極值點，表明該零點左右f′（x）同號即可，這種思想經常用到．