Question

設A是同時符合以下性質的函數f（x）組成的集合：
①?x∈[0，+∞），都有f（x）∈（1，4]；②f（x）在[0，+∞）上是減函數．
（1）判斷函數f1(x)=2-

x

和f2(x)=1+3•(

1

2

)x（x≥0）是否屬于集合A，并簡要說明理由；
（2）把（1）中你認為是集合A中的一個函數記為g（x），若不等式g（x）+g（x+2）≤k對任意的x≥0總成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于函數f1(x)=2-

x

，根據基本初等函數的單調性即可判斷在[0，+∞）上是減函數，其值域為（-∞，2]，根據題意可知，f₁（x）不在集合A中，對于f2(x)=1+3•(

1

2

)x（x≥0）可以確定其單調性和值域，判斷其符合題意，故f₂（x）在集合A中；
（2）根據（1）的結論，可得g（x）=1+3•（

1

2

）^x，求出函數h（x）=g（x）+g（x+2），將不等式g（x）+g（x+2）≤k對任意的x≥0總成立，轉化為h（x）的最大值，確定h（x）的單調性，從而求得其最大值，即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f1(x)=2-

x

，y=

x

在[0，+∞）上是單調遞增函數，
∴f1(x)=2-

x

在[0，+∞）上是單調減函數，
∵

x

≥0，
∴2-

x

≤2，
∴f₁（x）∈（-∞，2]，
∵A是同時符合以下性質的函數f（x）組成的集合：①?x∈[0，+∞），都有f（x）∈（1，4]；②f（x）在[0，+∞）上是減函數，
∴f₁（x）不符合①，
∴f₁（x）不在集合A中；
∵x≥0時，0＜(

1

2

)x≤1，
∴1＜1+3•(

1

2

)x≤4，
∴f₂（x）∈（1，4]，
又y=（

1

2

）^x在[0，+∞）上是單調遞減函數，
∴f2(x)=1+3•(

1

2

)x在[0，+∞）上是單調遞減函數，
∵A是同時符合以下性質的函數f（x）組成的集合：①?x∈[0，+∞），都有f（x）∈（1，4]；②f（x）在[0，+∞）上是減函數，
∴f₂（x）同時符合①②，
∴f2(x)=1+3•(

1

2

)x在集合A中，
故f1(x)=2-

x

不在集合A中，f2(x)=1+3•(

1

2

)x在集合A中；
（2）由（1）可知，g（x）=1+3•（

1

2

）^x，
∴h（x）=g(x)+g(x+2)=[1+3•(

1

2

)x]+[1+3•(

1

2

)x+2]=2+

15

4

(

1

2

)x，
∵y=（

1

2

）^x在[0，+∞）上是單調遞減函數，
∴h（x）在[0，+∞）上是單調遞減函數，
∴當x=0時，h（x）取得最大值h（x）_max=h（0）=

23

4

，
∵g（x）+g（x+2）≤k對任意的x≥0總成立，即h（x）_max≤k，
∴k≥

23

4

，
故所求的實數k的取值范圍是[

23

4

，+∞)．

點評：本題考查了函數恒成立問題，函數單調性的判斷與證明．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．本題函數單調性的判斷是運用了基本初等函數的單調性進行判斷，要掌握常見的基本初等函數的單調性．屬于中檔題．