Question

【題目】已知A，B，C為銳角△ABC的內角， =（sinA，sinBsinC）， =（1，﹣2）， ⊥ ．
（1）tanB，tanBtanC，tanC能否構成等差數列？并證明你的結論；
（2）求tanAtanBtanC的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意有sinA=2sinBsinC．

在△ABC中，A=π﹣B﹣C，

所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．

因為△ABC為銳角三角形，所以cosB＞0，cosC＞0，

所以tanB+tanC=2tanBtanC，

所以tanB，tanBtanC，tanC成等差數列

（2）解：在銳角△ABC中，

tanA=tan（π﹣B﹣C）=﹣tan（B+C）=﹣ ，

即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，

由（1）知tanB+tanC=2tanBtanC，

于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥ ，

整理得tanAtanBtanC≥8，

當且僅當tanA=4時取等號，

故tanAtanBtanC的最小值為8

【解析】（1）依題意有sinA=2sinBsinC，從而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由cosB＞0，cosC＞0，能推導出tanB，tanBtanC，tanC成等差數列．（2）推導出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，從而tanAtanBtanC≥8，由此能求出tanAtanBtanC的最小值為8．