Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， .

（1）直接寫(xiě)出函數(shù)的增區(qū)間（不需要證明）；

（2）求出函數(shù)， 的解析式；

（3）若函數(shù)， ，求函數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)奇偶性，結(jié)合函數(shù)簡(jiǎn)圖可得函數(shù)的增區(qū)間；（2）因?yàn)?/span>， ，所以根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)， , 且當(dāng)時(shí), , 時(shí)函數(shù)的解析式，綜合可得函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)（1）可得函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而可得函數(shù)的最小值的表達(dá)式.

試題解析：（1）的增區(qū)間為 .

（2）設(shè)，則，，

由已知，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的解析式為：.

（3）由（2）可得：，對(duì)稱(chēng)軸為：，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故的最小值為，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸處取得最小值，故的最小值為，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最小值為.

綜上：所求最小值為 .