Question

【題目】已知四棱錐中， 平面，底面為菱形， ， 是中點， 是的中點， 是上的點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當是中點，且時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用菱形的對角線相互垂直和等腰三角形的“三線合一”得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理得到線面垂直，進而利用面面垂直的判定定理進行證明；（Ⅱ）利用第一問的垂直關系建立空間直角坐標系，寫出相關點的點的坐標，求出相關直線的方向向量和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式進行求解.

試題解析：（Ⅰ）連接，

∵底面為菱形， ，

∴是正三角形，

∵是中點，∴，

又，∴，

∵平面， 平面，∴，

又，∴平面，

又平面，

∴平面平面．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ， 兩兩垂直，

以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設，則

則， ， ， ， ，

，

∴， ， ，

設是平面的個法向量，

則，取，得，

同理可求，平面的個法向量，

則．

觀察可知，二面角的平面角為銳角

∴二面角的平面角的余弦值為．