Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求證：BC₁⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）求三棱錐D-A₁AC的體積．

Answer 1

分析：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，連結(jié)AC₁交A₁C于G，連結(jié)DG，證明BC₁∥DG，由線面平行的判定定理證明BC₁∥平面A₁CD；
（II）利用線面垂直的性質(zhì)證BC₁⊥AC，再證BC₁⊥B₁C．由線面垂直的判定定理可證線面垂直；
（III）利用△ABC為等腰直角三角形，可求其面積，又AA₁⊥平面ABC，AA₁為三棱錐A₁-ABC的高，利用三棱錐的換底性求體積．

解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，連結(jié)AC₁交A₁C于G，連結(jié)DG
因?yàn)锳C=BC=BB₁=2，
所以四邊形A₁C₁CA、BCC₁B₁為正方形．
所以G為AC₁中點(diǎn)．
在△ABC₁中，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，
所以BC₁∥DG．
因?yàn)镈G?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
所以CC₁⊥平面ABC．
因?yàn)锳C?平面ABC，
所以CC₁⊥AC．
又AC⊥BC，CC₁∩BC=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．
因?yàn)锽C₁?平面BCC₁B₁，
所以BC₁⊥AC．
因?yàn)锽B₁C₁C是正方形，
所以BC₁⊥B₁C．
又B₁C∩AC=C，
所以BC₁⊥平面AB₁C．
（Ⅲ）因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，
所以S△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

×

2

×

2

=1．
因?yàn)锳A₁⊥平面ABC，
所以VD-A1AC=VA1-ADC=

1

3

•AA1•S△ACD=

1

3

×2×1=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，考查了線面判定的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．