Question

等比數列{a_n}的公比為q，其前n項的積為T_n，并且滿足條件a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0．給出下列結論：
①0＜q＜1；
②a₉₉•a₁₀₁-1＜0；
③T₁₀₀的值是T_n中最大的；
④使T_n＞1成立的最大自然數n等于198．
其中正確的結論是（　　）

A．①②④

B．②④

C．①②

D．①②③④

Answer 1

分析：利用等比數列的性質及等比數列的通項公式判斷出①正確．利用等比數列的性質及不等式的性質判斷出②正確．
利用等比數列的性質判斷出③錯誤．利用等比數列的性質判斷出④正確，從而得出結論．

解答：解：∵a₉₉a₁₀₀-1＞0，∴a₁²•q¹⁹⁷＞1，∴（a₁•q⁹⁸）²＞1．
∵a₁＞1，∴q＞0．
又∵

a99-1

a100-1

＜0，∴a₉₉＞1，且a₁₀₀＜1．∴0＜q＜1，即①正確．
∵

a99•a101=a100 2 0＜a100＜1

，∴0＜a₉₉•a₁₀₁ ＜1，即 a₉₉•a₁₀₁-1＜0，故②正確．

由于 T₁₀₀=T₉₉•a₁₀₀，而 0＜a₁₀₀＜1，故有 T₁₀₀＜T₉₉，∴③錯誤．

④中T₁₉₈=a₁•a₂…a₁₉₈=（a₁•a₁₉₈）（a₂•a₁₉₇）…（a₉₉•a₁₀₀）=(a99•a100)99＞1，

T₁₉₉=a₁•a₂…a₁₉₉=（a₁•a₁₉₉）（a₂•a₁₉₈）…（a₉₉•a₁₀₁）a₁₀₀＜1，∴④正確．
∴正確的為①②④，
故選A．

點評：本題考查的知識點是等比數列的性質：若m+n=p+q則有a_m•a_n=a_p•a_q．其中根據已知條件得到aa₉₉＞1，a₁₀₀＜1，是解答本題的關鍵，屬于基礎題．