Question

定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函數，給出下列關于f(x)的判斷：①f(x)是周期函數；②f(x)關于直線x＝1對稱；③f(x)在[0,1]上是增函數；④f(x)在[1,2]上是減函數；⑤f(2)＝f(0)．

其中正確的序號是________．

 

Answer 1

【答案】

①②⑤ 

【解析】∵定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），

∴f（x）=-f（x+1）=-[-f（x+1+1）]=f（x+2），

∴f（x）是周期為2的函數，則①正確．

又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），

∴y=f（x）的圖象關于x=1對稱，②正確，

又∵f（x）為偶函數且在[-1，0]上是增函數，

∴f（x）在[0，1]上是減函數，

又∵對稱軸為x=1．

∴f（x）在[1，2]上為增函數，f（2）=f（0），

故③④錯誤，⑤正確．

故答案應為①②⑤