Question

（2009北京卷理）（本小題共14分）

    如圖，在三棱錐中，底面，

點，分別在棱上，且

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

Answer 1

【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP為等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴與平面所成的角的大小.

（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP為二面角的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.

∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，

故存在點E使得二面角是直二面角.

【解法2】如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系，

        設，由已知可得

       .

       （Ⅰ）∵，

∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵，

∴.

∴與平面所成的角的大小.

（Ⅲ）同解法1.