Question

已知x＞0，函數f（x）=-x²+2x+t-1，g（x）=x+

1

x

．
（1）求過點（1，f（1））與y=f（x）圖象相切的直線方程
（2）若g（x）=m有零點，求m的取值范圍；
（3）確定實數t的取值范圍，使得g（x）-f（x）=0有兩個相異實根．

Answer 1

（1）∵f^′（x）=-2x+2，∴f^′（1）=0．
而f（1）=-1+2+t-1=t，
∴過點（1，f（1））與y=f（x）圖象相切的直線方程是y-t=0．
（2）由g′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x

，x＞0，令g^′（x）=0，解得x=1．
解g^′（x）＞0，得x＞1，可得g（x）在（1，+∞）上單調遞增；解g^′（x）＜0，得0＜x＜1，可得g（x）在（0，1）上單調遞減．
因此當x=1時，g（x）取得極小值即最小值，g（1）=2，
∵g（x）=m有零點，∴m的取值范圍是[2，+∞）；
（3）令h（x）=g（x）-f（x）=x+

1

x

+x2-2x-t+1=x2-x+

1

x

-t+1（x＞0），
則h′(x)=1-

1

x2

+2x-2=

2x3-x2-1

x2

=

(x-1)(2x2+x+1)

x2

，
令h^′（x）=0，解得x=1．
解h^′（x）＞0，得x＞1，可得h（x）在（1，+∞）上單調遞增；解h^′（x）＜0，得0＜x＜1，可得h（x）在（0，1）上單調遞減．
因此當x=1時，函數h（x）取得最小值，h（1）=2-t，
又x→0⁺時，h（x）→+∞；當x→+∞時，h（x）→+∞．
因此當h（1）＜0，即t＞2時，h（x）在x＞0時與x軸由兩個交點，即g（x）-f（x）=0有兩個相異實根．