Question

【題目】已知函數f（x）．

（1）當a≤e時，求證：當x＝1時函數f（x）取得極小值：

（2）若函數f（x）有4個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）a＞6e

【解析】

（1）由題可得f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣ax）．①當a≤0時，對任意x∈（0，+∞），都有ex﹣ax＞0恒成立，易得函數f（x）在x＝1處取得極小值，②當0≤a≤e時，令g（x）＝ex﹣ax，令g′（x）＝0，得x＝lna，

再論證當1＜a≤e，0＜a≤1時，都有ex﹣ax≥0恒成立即可．

（2）由（1）知當a≤e時，當x＝1時函數f（x）取得極小值，所以f（x）最多有2個零點；當a≥0時，ex﹣ax＞0，f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0]上單調減，所以f（x）最多有2個零點；當a＜0時，設g（x）＝ex﹣ax，g'（x）＝ex﹣a＞0，又，由零點存在定理，存在使得g（x0）＝0，是 f（x）的極大值點，所以f（x）最多有3個零點；所以要使得f（x）有4個零點，則a＞e，根據（1）知，g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，又g（1）＝e﹣a＜0，g（0）＝1＞0，g（a）＝ea﹣a2＞0，由零點存在定理，則存在0＜x1＜1＜x2，使得g（x1）＝g（x2）＝0，所以f'（x）＝0有3個零點x1，1，x2，要有4個零點，則即可.

（1）由題可得f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣ax）．

①當a≤0時，對任意x∈（0，+∞），都有ex﹣ax＞0恒成立，

所以當0＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．

所以函數f（x）在x＝1處取得極小值，符合題意．

②當0≤a≤e時，設g（x）＝ex﹣ax，依然取x∈（0，+∞）．

則g′（x）＝ex﹣a，令g′（x）＝0，得x＝lna，

當1＜a≤e時，lna＞0，所以g（x）在（0，lna）上單調遞減，在區間（lna，+∞）上單調遞增，

所以g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）．

因為1＜a≤e，所以g（x）min＝a（1﹣lna）≥0．當且僅當a＝e時，等號成立，此時x＝1，

所以對任意x∈（0，1）∪（1，+∞），都有ex﹣ax≥0恒成立．

當0＜a≤1時，由x∈（0，+∞）時ex＞1得g′（x）＝ex﹣a≥0，

所以當0＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．

所以函數f（x）在x＝1處取得極小值，符合題意．

綜上①②可知：當a≤e時x＝1是函數f（x）的極小值點．

（2）由（1）得當a≤e時，f（x）在（0，1）上單調減，在（1，+∞）單調增；

在x≤0時，x﹣1＜0，

當a≥0時，ex﹣ax＞0，f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0]上單調減，所以f（x）最多有2個零點；

當a＜0時，設g（x）＝ex﹣ax，g'（x）＝ex﹣a＞0，又，

所以存在使得g（x0）＝0，則

在（﹣∞，x0）上g（x）＜0，f'（x）＞0，f（x）單調增，

在（x0，0]上，g（x）＞0，f'（x）＜0，f（x）單調減，

所以f（x）最多有3個零點；

所以要使得有4個零點，a＞e，

由（1）得g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，

又g（1）＝e﹣a＜0，g（0）＝1＞0，g（a）＝ea﹣a2＞0

（證明：h（a）＝a﹣2lna（a＞2），則，

所以h（a）在（2，+∞）單調增，所以在（e，+∞）上h（a）＞h（e）＝e﹣2＞0，所以a＞2lna，即ea＞a2，

所以存在0＜x1＜1＜x2，使得g（x1）＝g（x2）＝0，

又當x≤0時，g（x）＞0，所以f'（x）＝0有3個零點x1，1，x2，

當x＜x1，或1＜x＜x2，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

當x＞x2，或x1＜x＜1，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

所以要有4個零點，，即a＞6e，

此時，f（0）＝﹣2＜0，，

設m（a）＝a﹣3lna（a＞3），，

所以在（6e，+∞）上m（a）＞m（6e）＞m（e2）＝e2﹣6＞0，

所以a＞3lna，即ea＞a3，

又，

綜上，當且僅當a＞6e時，函數f（x）有4個零點．