Question

當(dāng)p₁，p₂，…，p_n均為正數(shù)時(shí)，稱為p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且其前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為．
（Ⅰ）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，試判斷并說明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號(hào)；
（Ⅲ）已知，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試求的值；
（Ⅳ）設(shè)函數(shù)，是否存在最大的實(shí)數(shù)λ，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有f（x）≤0恒成立？

Answer 1

解：（Ⅰ）由題得：a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1） ①，
a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1） ②，
兩式相減，得a_n=4n-1（n≥2）．
又，解得a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1（n∈N⁺）．（4分）
（Ⅱ）∵c_n=，c_n+1=，
∴c_n+1-c_n=＞0，即c_n+1＞c_n．（7分）
（Ⅲ）∵b_n=t^a_n=t^4n-1（t＞0），
∴S_n=b₁+b₂++b_n=t³+t⁷++t^4n-1，
當(dāng)t=1時(shí)，S_n=n，；（8分）
當(dāng)t＞0且t≠1時(shí)，S_n=，．（10分）
綜上得，（11分）
（Ⅳ）由（Ⅱ）知數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，c₁=1是其的最小項(xiàng)，即c_n≥c₁=1．
假設(shè)存在最大實(shí)數(shù)，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有f（x）=-x²+4x-≤0恒成立，
則-x²+4x≤（n∈N⁺）．
只需-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0．
解之得x≥2+或x≤2-．
于是，可取λ=2-（14分）
分析：（Ⅰ）先利用條件求得a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）和a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1），兩式作差就可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（注意檢驗(yàn)n=1是否成立）；
（Ⅱ）利用 （Ⅰ）求得的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入即可求出c_n+1-c_n再利用函數(shù)的單調(diào)性就可判斷出c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號(hào)；
（Ⅲ）利用 （Ⅰ）求得的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再對(duì)等比數(shù)列{b_n}分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和即可找到的值；
（Ⅳ）由（Ⅱ）知數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，c₁=1是其最小項(xiàng)，所以f（x）≤0恒成立可以轉(zhuǎn)化為-x²+4x≤c₁=1，再解不等式就可找到對(duì)應(yīng)的最大的實(shí)數(shù)λ．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列知識(shí)．函數(shù)知識(shí)以及恒成立問題的綜合考查．在利用等比數(shù)列的求和公式時(shí)，一定要看公比的取值，在不確定的情況下，要分清況討論．