Question

如圖矩形ABCD中，AB=2BC=2，M是AB中點，沿MD將AMD折起，
（1）在DC上是否存在一點N，不論△AMD折到什么位置（不與平面MBCD重合），總有MD∥平面ABN？
（2）當二面角A-MD-C的大小為60°時，求四棱錐A-MBCD的體積．

Answer 1

分析：（1）取N為DC中點時，連接AN，BN，由三角形中位線定理，我們可證得MBND為平行四邊形，進而MD∥BN，由線面平行的判定定理可得MD∥平面ABN；
（2）取MD的中點E，連接AE，NE，取EN中點F，連接AF，由已知結合二面角平面角的定義，可得∠AEN是二面角A-MD-C的平面角，即∠AEN=60°，進而由AF⊥EN，DM⊥AF，得到AF為平面MBCD上的高，求出底面MBCD的面積后，代入棱錐體積公式，即可得到四棱錐A-MBCD的體積．

解答：解：（1）當N為DC中點時，連接AN，BN，
∵MB∥DC，且MB=

1

2

DC=DN，∴MBND為平行四邊形∴MD∥BN，…（2分）
又MD?平面ABN，且BN?平面ABN，因此MD∥平面ABN…（4分）
（2）取MD的中點E，連接AE，NE，取EN中點F，連接AF
∵在矩形ABCD中，AD=AM=1，∴AMND是正方形，
∴AE⊥DM，NE⊥DM，故∠AEN是二面角A-MD-C的平面角…（6分）
即∠AEN=60°，又AE=NE，∴△AEN是正三角形，所以AF⊥EN，又因為DM⊥AF，
∴AF⊥平面MBCD，易得SMBCD=

3

2

，AF=

6

4

…（10分）
∴VA-MBCD=

1

3

SMBCD•AF=

1

3

•

3

2

•

6

4

=

6

8

…（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，直線與平面平行的判定，其中（1）的關鍵是證得MD∥BN，（2）的關鍵是構造∠AEN是二面角A-MD-C的平面角．