Question

若m∈R，命題p：設(shè)x₁和x₂是方程x²-ax-3=0的兩個(gè)實(shí)根，不等m²-2m-4≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-2，2]恒成立命題q：“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要條件．求使p且￢q為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

分析：由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

代入結(jié)合a得范圍可求|x₁-x₂|的最大值，從而求出命題p對(duì)應(yīng)的m得范圍；再由“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要條件求出命題q對(duì)應(yīng)的m得范圍，最后結(jié)合復(fù)合命題的真值可求出使p且￢q為真命題的m的取值范圍．

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-ax-3=0的兩個(gè)實(shí)根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-3
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+12

∵a∈[-2，2]∴

a2+12

∈[2

3

，4]
∵不等m²-2m-4≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-2，2]恒成立
∴m²-2m-4≥|x₁-x₂|_max在a∈[-2，2]成立即可
∴m²-2m-4≥4解得m≤-2或m≥4
∴p：m≤-2或m≥4
∵x²-x-2＞0∴x＜-1或x＞2
∵4x+m＜0∴x＜-

m

4

∵“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要條件
∴-

m

4

≤-1解得m＞4
∴q：m≥4
∵p且￢q為真命題
∴{m|m≤-2或m≥4}∩{m|m＜4}={m|m≤-2}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了恒成立問題，以及復(fù)合命題的真假判斷的應(yīng)用，解題得關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的知識(shí)準(zhǔn)確求出命題p，q為真時(shí)的m的取值范圍，屬于中檔題．