Question

曲線(xiàn)C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a²（a＞1）的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①曲線(xiàn)C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線(xiàn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
③若點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，則△F₁PF₂的面積不大于

1

2

a²．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：由題意曲線(xiàn)C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a²（a＞1），利用直接法，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），及可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程特點(diǎn)即可加以判斷．

解答：解：對(duì)于①，由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則利用題意及兩點(diǎn)間的距離公式的得：

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a2?[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴（1）將原點(diǎn)代入驗(yàn)證，此方程不過(guò)原點(diǎn)，所以①錯(cuò)；
對(duì)于②，把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，故此曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．②正確；
對(duì)于③，由題意知點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，則△F₁PF₂的面積S△PF1F2=

1

2

×2×y，
由（1）式平方化簡(jiǎn)的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-a⁴=0?y2=-x2-1+

4x2+a4

或y2=-x2-1-

4x2+a4

（舍）  
把三角形的面積式子平方得：S△PF1F22 =y2 對(duì)于y2=-x2-1+

4x2+a4

（2）
 令

4x2+a4

=t(t≥a2＞1)?x2=

t2-a4

4

代入（2）得y2=-

t2

4

+

a4

4

-1+t=-

1

4

(t-2)2+

a4

4

≤

a4

4

，
故可知S△PF1F2=

1

2

×2×y≤

1

2

a² 所以③正確．
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了利用直接法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并化簡(jiǎn)，利用方程判斷曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及利用解析式選擇換元法求出值域．