Question

【題目】已知函數f（x）=2x+sinx，且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，則當y≥1時， 的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=2x+sinx（x∈R），
∴f（﹣x）=﹣2x﹣sinx=﹣（2x+sinx）=﹣f（x），
即f（x）=2x+sinx（x∈R）是奇函數，
∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，
∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，
由f'（x）=1﹣cosx≥0，
∴函數單調遞增．
∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），
即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，
∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，
∵y≥1，
∴不等式對應的平面區域為圓心為（2，1），半徑為1的圓的上半部分．
的幾何意義為動點P（x，y）到定點A（﹣1，0）的斜率的取值范圍．
設k= ，（k＞0）
則y=kx+k，即kx﹣y+k=0．
當直線和圓相切是，圓心到直線的距離d= =1，
即8k2﹣6k=0，解得k= ．此時直線斜率最大．
當直線kx﹣y+k=0．經過點B（3，1）時，直線斜率最小，
此時3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=
∴ ≤k≤ ，
故選：A．

【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調性的綜合，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性即可以解答此題．