Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（1）試判斷數(shù)列{

1

an

+(-1)n}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)b_n=

1

an2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．求證：對(duì)任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，對(duì)

1

an

=(-1)n-

2

an-1

進(jìn)行變形可得

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列a_n，從而求得b_n，利用分組求和法即可求得結(jié)果；
（3）首先確定出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用放縮的思想將數(shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問(wèn)題達(dá)到證明不等式的目的．

解答：解：（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

a1

+(-1)=3，
∴數(shù)列{

1

an

+(-1)n}是首項(xiàng)為3，公比為-2的等比數(shù)列．
（2）依（1）的結(jié)論有

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1，
即an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

．
b_n=（3•2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1．
Sn=9•

1•(1-4n)

1-4

+6•

1•(1-2n)

1-2

+n=3•4n+6•2n+n-9．
（3）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1，
∴cn=

(-1)n-1

3(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

．
當(dāng)n≥3時(shí)，
則Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

．
∵T₁＜T₂＜T₃，
∴對(duì)任意的n∈N^*，Tn＜

4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的思想，根據(jù)遞推公式確定出數(shù)列是否滿足特殊數(shù)列的定義，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．第（3）問(wèn)考查學(xué)生的不等式放縮的技巧與方法，關(guān)鍵要將數(shù)列{c_n}的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列從而達(dá)到求和證明的目的，屬難題．