Question

已知函數y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）（其中k∈N），對任意實數a，在區間[a，a+3]上要使函數值

5

4

出現的次數不少于4次且不多于8次，求k值．

Answer 1

分析：根據題意，可得cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

1

4

．由余弦函數的圖象與性質，得當長度為3的區間大于2個周期且小于4個周期時，可使區間[a，a+3]上要使函數值

5

4

出現的次數不少于4次且不多于8次，由此建立關于k的不等式并解之，即可得到整數k的值．

解答：解：由5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

5

4

，得cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

1

4

．
∵函數y=cosx在每個周期內出現函數值為

1

4

的有兩次，而區間[a，a+3]長度為3，
∴為了使長度為3的區間內出現函數值

1

4

不少于4次且不多于8次，
必須使3不小于2個周期長度且不大于4個周期長度．
即2×

2π

2k+1 3 π

≤3且4×

2π

2k+1 3 π

≥3，
解之得

3

2

≤k≤

7

2

．
∵k∈N，故k值為2或3．

點評：本題給出三角函數滿足的條件，求參數k的取值，著重考查了三角函數的圖象與性質、不等式的解法等知識，屬于中檔題．