Question

已知函數f（x）=．
（I）化簡函數f（x）的解析式，并求其定義域和單調區間；
（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

Answer 1

解：（I）函數f（x）===（cosx+sinx）= sin（x+）． 由題意可得sin（x﹣）≠0，故x﹣≠kπ，
故定義域為{x|x≠kπ+，k∈z}．
由 2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z，
故函數的增區間為 （ 2kπ﹣，2kπ+），k∈z．
由 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z，
故函數的減區間為（ 2kπ+，2kπ+ ），k∈z．
（Ⅱ）∵f（α）=（cosα+sinα）=，
∴cosα+sinα=，
求得 sin2α=（cosα+sinα）²﹣1=﹣．