Question

【題目】已知，

（1）對，有恒成立，求的最大整數解；

（2）令，若有兩個零點分別為，且為的唯一的極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）3 （2）見解析

【解析】

（1）由等到價于，可令，求得導數，再構造函數，求得導數，判斷單調性可得的單調性，以及最小值，即可得到所求的最大整數值；

（2）求得的導數的單調性，由極小值小于0，可得，再由分析法，注意構造函數，求得導數和單調性，即可得證.

（1）解：等價于，

令，則，

令，則，

所以在上為遞增函數，

因為，

所以存在，使得，即，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，

所以的最大整數為3；

（2）證明：，則，

當時，，所以的上單調遞增，

此時不可能有兩個零點，

所以，

所以

解得，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減，上單調遞增，

而要使有兩個零點，要滿足，

即，可得，

因為，，令，

由，得

所以，

而

即

由，只需證，

令，則，

令，則，

所以在上遞增，；

所以在上遞增，，

所以