Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)滿(mǎn)足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求；
（3）若，求的前n項(xiàng)和.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）條件中是前項(xiàng)和與第項(xiàng)之間的關(guān)系，考慮到當(dāng)時(shí)，，因此可得，又由，從而可以證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴通項(xiàng)公式；（2）由（1）結(jié)合，可得，
從而，因此考慮采用裂項(xiàng)相消法求的前項(xiàng)和，即有；（3）由（2）及，可得，因此可看作是一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列的積，可以考慮采用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和，即有①，
②，
①-②：，
從而.
（1）在中，令，可得..............2分
當(dāng)時(shí)，，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴；      4分
由（1）及，∴，
∴，故，..............6分
又∵，......   9分
∴                                 10分
（3）由（2）及，∴，           12分
∴①，
①可得：②，
①-②：，
∴，                16分