Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E為CD上一點，且DE=4，過E作EF∥AD交BC于F現將△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如圖2．
（I）求證：PE⊥平面ADP；（II）求異面直線BD與PF所成角的余弦值；
（III）在線段PF上是否存在一點M，使DM與平在ADP所成的角為30°？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）解法一：∵DE=4，PE=2，∠PED=60°，由弦定理得PD=2，
∵PD²+PE²=16=DE²，∴PE⊥PD．∵EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE，又∵EF∥AD，∴AD⊥平面PDE，∴AD⊥PE，又∵直線AD，PD在平面APD內，且相交于D，∴PE⊥平面APD．
解法二：EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE
以DA所在的直線為 x軸，以DE所在的直線為y軸，在平面DPE內過D作DE的垂線，以垂線所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖
則D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，），E（0，4，0）
∴=（3，0，0），=（0，3，），=（0，-1，）．∵•=0，•=0，∴⊥，⊥∴DA⊥EP，DP⊥EP，∵DA，DP是平面ADP內的相交直線，∴PE⊥平面APD．
（II）由（I）知AD⊥平面PDE，∴平面ADE⊥平面PDE
以DA所在的直線為 x軸，以DE所在的直線為y軸，在平面DPE內過D作DE的垂線，以垂線所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖
則D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，），E（0，4，0），F（，4，0），B（3，2，0），∴=（3，2，0），=（，1，-）
∴=
設BD與PF所成的角為θ，則θ=，∴
（III）由（II）知=（0，-1，）.=（，1，-）
∵PE⊥平面ADP，∴平面ADP的法向量為==（0，-1，）．
設M是線段PF上一點，則存在0≤λ≤1，
使∴═（0，3，）+λ（，1，-）=（，λ+3，）
.==，如果直線DM與平面ADC所成的角為30°，
那么||=sin30°，即=解得
∵此方程在[0，1]內無解，
∴在在線段PF上不存在一點M，使DM與平在ADP所成的角為30°．
分析：（I）由題設條件及圖形知，本題可采用兩種方法求解，
法一，證明AD⊥PE，PE⊥PD，再利用線面垂直的判定定理證明即可；
法二，用向量法，建立如圖的坐標系，根據題設條件寫出各點的坐標，易得直線PE的方向向量與面內兩直線AD，PD的方向向量，用數量積證明即可；
（II）本題用向量法比較方便，借助（I）中的坐標系，易得兩異面直線的方向向量，用數量積求兩異面直線的夾角的余弦值或其補角的余弦值；
（III）先假定存在，設出點M的坐標，由線面垂直的條件尋求滿足題意的條件，根據DM與平在ADP所成的角為30°，建立方程求參數，為了解答本題，需要求出平面的法向量與直線DM的方向向量．然后利用相關規則求夾角的余弦，令其值等于sin30°，建立方程求參數，若能求出符合條件的參數，則說明存在，否則，說明不存在．
點評：本題考查用向量法證明線面垂直，求兩異面直線所成的角，驗證是否存在一點M使得DM與平在ADP所成的角為30°的問題，用向量法解決此類問題大大降低了解題難度，是解此類題的一個優先扶把思路．