Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列滿足：其中

（1）當(dāng)時(shí)，求的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，若數(shù)列中，且求證：對(duì)于恒成立；

（3）對(duì)于設(shè)的前項(xiàng)和為，試比較與的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）＜．

【解析】

試題分析：(I) 當(dāng)時(shí),可求出從而可得即因而可確定是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列,據(jù)此求出其通項(xiàng)公式；

（II）先求出當(dāng)時(shí)，

,

因?yàn)閎₁=1也滿足上式，因而當(dāng)時(shí)，

然后根據(jù),從得可求出.

(3) 由得：

　

即

從而得到是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，故,

然后可得　　

＝,

通過(guò)分組求和即可求出S_n,到此問(wèn)題基本得以解決.

（1）當(dāng)時(shí)，

即分

故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列．

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為　………………………4分

（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，有

…………………6分

也滿足上式，故當(dāng)時(shí)，

，

即…………………………8分

（3）解法一：由得：

　

即

是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，故………………9分

　　＝

　　＝………………………11分

因此，－＝－

＝

＝

＝

＜．……………………14分

解法二：同解法一得 ……………………9分

……………………11分

　　＝

　

＜．…………………14分(其他解法酌情給分)

考點(diǎn)：三角函數(shù)的倍角公式，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，三角函數(shù)的值域，分組求和，作差比較法判定兩個(gè)數(shù)的大小.

點(diǎn)評(píng)：（1）等差等比數(shù)列的定義是判定一個(gè)數(shù)列是否是等差或等比數(shù)列的依據(jù)，要勿必掌握.（2）三角函數(shù)公式的變形也是解決本題的基礎(chǔ)，因此要熟記常見(jiàn)的變形公式如：

，還有等.

（3）在比較兩個(gè)數(shù)或式子大小不易直接比較時(shí)，作差比較法是常用也是很有效的方法之一.