Question

已知點，一動圓過點且與圓內切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，△的面積為（是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點），以為邊長的正方形的面積為．若正數滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設圓心坐標為，則動圓的半徑為，

又動圓與內切，所以有化簡得

所以動圓圓心軌跡C的方程為． ………………………………4分

（Ⅱ）設，則

，令，，所以，

當，即時在上是減函數，；

當，即時，在上是增函數，在上是減函數，則；

當，即時，在上是增函數，．

所以， ．…………………………………………9分

（Ⅲ）當時,,于是,,

若正數滿足條件，則，即，

，令，設，則，，

于是，

所以，當，即時，，

即，．所以，存在最小值．………………………………15分