Question

已知各項均為正數的數列的前項和為，且對任意的，都有。
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，且c_n=a_nb_n，求數列的前 項和；
（3）在（２）的條件下，是否存在整數，使得對任意的正整數，都有，若存在，求出的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

(1) （2）（3）.

試題分析：(1) 由，得：當時，當時，整理，得
（2）數列為等差乘等比，所以利用錯位相減法求和. ①②,①-②，得
（3）本題實質為求和項范圍：根據單調性確定數列和項范圍. 由（2）知，對任意，都有.因為，所以.故存在整數，使得對于任意，都有.
解：(1)當時，           （1分）
當時，
整理，得  （2分）
                    （3分）
（2）由
                          （4分）
①
②
①-②，得
                   （6分）
                      （8分）
（3）由（2）知，對任意，都有.              （10分）
因為，
所以.                 （14分）
故存在整數，使得對于任意，都有.   （16分）