Question

已知函數f(x)＝ax²＋1(a>0)，g(x)＝x³＋bx.

(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；

(2)當a²＝4b時，求函數f(x)＋g(x)的單調區間，并求其在區間(－∞，－1]上的最大值．

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x²＋b.

因為曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.

解得a＝3，b＝3.

(2)記h(x)＝f(x)＋g(x)．當b＝a²時，

h(x)＝x³＋ax²＋a²x＋1，

h′(x)＝3x²＋2ax＋a².

令h′(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝－.

當a>0時，h(x)與h′(x)的情況如下：

x		－		－
h′(x)	＋	0	－	0	＋
h(x)					

所以函數h(x)的單調遞增區間為和；單調遞減區間為.

當－≥－1，即0<a≤2時，

函數h(x)在區間(－∞，－1]上單調遞增，h(x)在區間(－∞，－1]上的最大值為h(－1)＝a－a².

當－<－1，且－≥－1，即2<a≤6時，

函數h(x)在區間內單調遞增，在區間上單調遞減，h(x)在區間(－∞，－1]上的最大值為h＝1.

當－<－1，即a>6時，函數h(x)在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，在區間上單調遞增．

又因h(－)－h(－1)＝1－a＋a²＝²>1，

所以h(x)在區間(－∞，－1]上的最大值為h(－)＝1.